Вычислить среднее расстояние от точки до сегмента линии и от сегмента линии до сегмента линии

// given vectors (points) A, B, C
K1 = dot(A-C,A-C)
K2 = 2*dot(B-A,A-C)
K3 = dot(B-A,B-A)
L1 = sqrt(K3*(K1+K2+K3))
L2 = sqrt(K3*K1)
N = 4*K3*L1 + 2*K2*(L1-L2) + (K2*K2-4*K1*K3)*log((K2+2*L2)/(2*K3+K2+2*L1))
D = N / (8*K3^1.5)

Ответ 2 · рейтинг 2 · dreeves

Во-первых, расстояние между двумя точками - это квадратный корень из суммы квадратов попарных разностей координат. (Например, расстояние от (0,0,0) до (1,1,1) равно sqrt (3), но это работает для произвольных точек в любом количестве измерений.) Это расстояние известно как l2-norm (L в нижнем регистре) или евклидова норма. Напишите норму (A, B) для расстояния между точками A и B.

Что касается интересной проблемы средних расстояний ... (Обратите внимание, что определение минимального расстояния от точки до линии или между сегментами линии - гораздо более распространенная проблема. Здесь был ответ с хорошими указателями для этой проблемы, но, похоже, он был удален тем временем.)

Чтобы найти среднее расстояние от точки C до отрезка AB, рассмотрите расстояние до произвольной точки между A и B, а именно (1-k) A + kB, где k изменяется от 0 до 1. Это норма (C, ( 1-к) А + кБ). Таким образом, среднее расстояние - это интеграл от k = 0 до 1 нормы (C, (1-k) A + kB).

Mathematica может сделать этот интеграл для любых конкретных A, B и C.

Вот реализация Mathematica:

avgd[A_,B_,C_] :=  Integrate[Sqrt@Dot[(1-k)*A+k*B-C, (1-k)*A+k*B-C], {k, 0, 1}]

Подынтегральное выражение также можно записать Norm[(1-k)*A+k*B-C]. В любом случае, Mathematica может сделать это для определенных точек, но не может интегрировать это символически, хотя, очевидно, Дэвид каким-то образом добился этого. Вот пример Дэвида из комментариев:

> avgd[{0, 0, 0}, {4, 0, 0}, {4, 3, 0}] // N

3.73594

Теоретически я думаю, что для проблемы среднего расстояния между двумя отрезками линии это должно сработать:

avgd[A_,B_,C_,D_] := Integrate[Norm[(1-k)A+k*B - (1-j)C - j*D], {k,0,1}, {j,0,1}]

Но Mathematica, кажется, задыхается от этого даже для конкретных моментов, не говоря уже о символах.

Ответ 3 · рейтинг 1 · High Performance Mark

Что ж, если анализ не удастся, возьмите компьютер и проделайте глупые вычисления, пока не почувствуете числа ...

У меня тоже есть копия Mathematica. Для простоты, поскольку треугольник должен лежать в плоскости, я проработал следующее в 2D-пространстве. Чтобы упростить задачу, я указываю точку в {0,0} и отрезок от {1,0} до {0,1}. Среднее расстояние от точки до линии должно быть, если это имеет смысл, средней длиной всех линий, которые могут быть проведены от {0,0} до любой точки сегмента линии. Конечно, таких строк очень много, поэтому давайте начнем, скажем, с 10. В системе Mathematica это можно вычислить как

Mean[Table[EuclideanDistance[{0, 0}, {1 - k, 0 + k}], {k, 0, 1, 10.0^-1}]]]

что дает 0.830255. Следующий шаг очевиден - увеличьте количество измеряемых линий. Фактически, давайте составим таблицу средних значений, когда показатель степени 10.0 станет меньше (они отрицательны!). В системе Mathematica:

Table[Mean[Table[EuclideanDistance[{0, 0}, {1 - k, 0 + k}], {k, 0, 1,
10.0^-i}]], {i, 0, 6}]

который производит:

{1, 0.830255, 0.813494, 0.811801, 0.811631, 0.811615, 0.811613}

Следуя этому подходу, я переработал пример @Dave (забудьте о третьем измерении):

Table[Mean[Table[EuclideanDistance[{0, 0}, {4, 0 + 3 k}], {k, 0, 1,
10.0^-i}]], {i, 0, 6}]

который дает:

{9/2, 4.36354, 4.34991, 4.34854, 4.34841, 4.34839, 4.34839}

Это не согласуется с тем, что, по словам @dreeves, вычисляет алгоритм @Dave.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Хорошо, поэтому я потратил на это еще немного времени. Для простого примера, который я использовал в первую очередь, то есть с точкой в {0,0} и отрезком линии, простирающимся от {0,1} до {1,0}, я определяю функцию в Mathematica (как всегда), например:

fun2[k_] := EuclideanDistance[{0, 0}, {0 + k, 1 - k}]

Теперь это интегрируемо. Mathematica дает:

   In[13]:= Integrate[fun2[k], {k, 0, 1}]

   Out[13]= 1/4 (2 + Sqrt[2] ArcSinh[1])

Или, если вы предпочитаете числа, это:

In[14]:= NIntegrate[fun2[k], {k, 0, 1}]
Out[14]= 0.811613

что дает чисто численный подход, который я использовал ранее.

Теперь я собираюсь вернуться к работе и предоставить вам возможность обобщить это на произвольный треугольник, определяемый точкой и конечными точками отрезка линии.